Formuła rozwiązywania równań kwadratowych i przykłady jej użycia

Anonim

Po przestudiowaniu równań pierwszego rzędu w szkołach ma miejsce temat równości kwadratowych. Istnieje kilka metod ich rozwiązywania, ale użycie formuły z wyróżnikiem jest najbardziej powszechne i uniwersalne. W artykule rozważamy tę formułę rozwiązywania równań kwadratowych.

Jakie równania nazywamy kwadratami?

Poniżej znajduje się rysunek przedstawiający równość składającą się z trzech terminów. Zmienna x jest nieznana. Ponieważ pierwszy termin zawiera go w drugim stopniu, to wyrażenie nazywane jest kwadratem. Łacińskie litery a, b oraz c oznaczają w nim współczynniki liczbowe.

To równanie nazywa się kompletne, ponieważ zawiera wszystkie terminy zawierające zmienną w stopniach 2, 1 i 0 (termin c, zwany wolnym, może być przedstawiony jako c * x 0 ).

Jeśli jeden ze współczynników b lub c wynosi zero, równanie stanie się niekompletne. Zauważ, że zerowa równość liczby a automatycznie konwertuje dane wyrażenie na równanie liniowe.

Zarówno dla pełnej, jak i niekompletnej równości drugiego rzędu, można użyć formuły do ​​rozwiązania równania kwadratowego przez wyróżnik.

Uniwersalna formuła

Jak wspomniano powyżej, za pomocą dyskryminatora formuła rozwiązywania równania kwadratowego może zostać użyta do znalezienia korzeni równości drugiego rzędu absolutnie dowolnego typu. Ta formuła jest pokazana na poniższym rysunku.

Pokazuje, że maksymalne równanie może mieć dwa rozwiązania (znak ±), jednak jeśli wyrażenie podstawowe w mianowniku wynosi zero, wówczas nieznany x, spełniający równość, będzie reprezentowany przez pojedynczą liczbę rzeczywistą. Wzór na rozwiązanie równania kwadratowego pokazuje również, że jego użycie jest możliwe, jeśli wszystkie trzy (lub mniej dla niepełnego równania) znają jego współczynniki.

Rozpatrywany wzór można uzyskać niezależnie, do tego wystarczy rozwiązać równanie w formie ogólnej, stosując metodę dodawania do pełnego kwadratu.

Zauważ, że nie ma potrzeby używania tej formuły do ​​określania pierwiastków niekompletnych równań, ponieważ istnieją prostsze metody rozwiązywania (faktoryzacja przez odłożenie X od nawiasów lub po prostu przeniesienie wolnego terminu na prawą stronę równości i odebranie mu korzenia).

Pojęcie dyskryminatora i jego znaczenie

Jeśli spojrzysz ponownie na formułę rozwiązywania równania kwadratowego przez dyskryminator, to ostatnia będzie różnicą, zamkniętą pod znakiem korzenia w mianowniku, czyli b 2 - 4 * a * c.

Jaką rolę odgrywa? Nie wiedząc o równaniu, nie ma absolutnie nic, ale mając tylko jego rozróżnienie, można śmiało powiedzieć, ile ma rozwiązań i jakiego typu są. Zatem dodatnia wartość dyskryminatora odpowiada 2 rzeczywistym rozwiązaniom, jego wartość ujemna wskazuje również 2 rozwiązania, ale będą to już liczby złożone. Ostatecznie, jeśli dyskryminator jest równy zero, co jest spełnione, gdy b * b = 4 * a * c, to równanie będzie miało tylko jeden prawdziwy rdzeń x.

Przykłady rozwiązywania równości drugiego rzędu

Korzystając z formuły pierwiastków równania kwadratowego, dajemy rozwiązanie równań kwadratowych w problemach o innej naturze.

Numer problemu 1. Iloczyn 2 liczb wynosi -84, a ich suma wynosi 5. Musimy określić te liczby.

Tworzymy układ równań zgodnie z danym warunkiem, otrzymujemy:

x 1 * x 2 = -84

x 1 + x 2 = 5

Wyraź z drugiego równania x 1, zastąp je pierwszym:

(5 - x 2 ) * x 2 = -84 = - (x 2 ) 2 + 5 * x 2

Teraz powinniśmy przenieść członków z X i X na kwadracie w lewo i obliczyć różnicę:

(x 2 ) 2 - 5 * x 2 - 84 = 0; D = 25 - 4 * 1 * (-84) = 361

Korzystając z uniwersalnej formuły, otrzymujemy wartość pierwiastków równania:

x 2 = (5 ± 19) / 2 => x 2 = (12; -7)

Aby uzyskać x 1, możesz użyć dowolnego równania systemu. Zastępując znane wartości x 2, otrzymujemy podobne liczby dla x 1 . Ten fakt oznacza, że ​​tylko jedna para liczb, czyli -7 i 12, spełnia warunek problemu.

Problem numer 2. Teraz rozwiązujemy nieco nietypowy problem. Poniżej znajduje się równanie:

x 2 - k * x + 36 = 0

Konieczne jest znalezienie wszystkich wartości k, co doprowadziłoby do unikalnego rozwiązania równości.

Aby zrozumieć, jak odpowiedzieć na postawione pytanie, należy pamiętać, że równania rozpatrywanego typu mają 1 pierwiastek tylko wtedy, gdy jego wyróżnik wynosi zero. Oznacza to, że musimy znaleźć tę różnicę, w której możemy uzyskać liczbę k. Mamy:

D = k 2 - 4 * 1 * 36 = 0

Uzyskana równość jest nazywana czystym równaniem drugiego rzędu (nie ma w niej współczynnika b). Rozwiązujemy to:

k = ± 4144 = ± 12

Zatem, jeśli liczba k przyjmuje wartość +12 lub -12, pierwiastek równania będzie jeden.